Matematika - Limit Fungsi

Geometri Ruang (Dimensi 3)

Beberapa Benda Ruang Yang Beraturan

 

Kubus Tabung

rusuk kubus = a

volume = a³ panjang diagonal bidang = aÖ2

luas = 6a² panjang diagonal ruang = aÖ3

r = jari-jari

t = tinggi

volume = p r² t luas = 2prt

Prisma Kerucut

LA = luas alas

t = tinggi

volume = LA.t

r = jari-jari

t= tinggi

g = garis pelukis

volume = 1/3 pr²t luas = prs

Limas Bola

LA = luas alas

t = tinggi

volume = 1/3 LA t

r =jari-jari

volume = 4/3 pr³

luas = 4pr²

BIDANG EMPAT TEGAK

Bidang empat tegak adalah bidang empat yang salah satu rusuknya tegak lurus pada bidang alas atau proyeksi titik puncaknya tepat pada salah satu titik sudut bidang alas..

BIDANG EMPAT BERATURAN

• Bidang yang batasnya terdiri dari dari empat buah segitiga sama sisi yang kongruen

• Titik sudutnya merupakan pertemuan dari tiga buah bidang batas dan tiga buah rusuk

• Karena masing-masing bidang batas merupakan segitiga sama sisi yang kongruen, maka titik berat masing- masing bidang batas tepat berimpit dengan titik tingginya. Sehingga titik berat bidang empat beraturan juga tepat berimpit dengan titik tingginya.

AM = 2/3 AD

BM = 2/3 BE

CM = 2/3 CF

BIDANG EMPAT SIKUSIKU

Bidang empat sikusikuadalahbidangempatdengan ketiga buah rusuknya bertemu pada satu titik yang saling tegak lurus sesamanya.

Limas Segi Empat Beraturan

• Bujur sangkar ABCD (segi-empat beraturan) merupakan bidang alas limas. Titik O adalah titik pusat

bidang alas.

• Titik T merupakan titik puncak limas

• Segitiga TAB, TBC, TCD, TAD merupakan bidang sisi tegak

• Garis TA, TB, TC, TD merupakan rusuk-rusuk tegak

• Garis AB, BC, CD, DA, merupakan rusuk-rusuk alas

• TO tegak lurus bidang alas (ABCD)

• Titik O merupakan proyeksi titik T pada bidang alas ABCD (O pusat

bidang alas). TO merupakan tinggi limas.

Proyeksi

PROYEKSI TITIK PADA GARIS

Proyeksi sebuah titik P pada sebuah garis g dapat diperoleh dengan menarik garis tegak lurus dari titik

P terhadap garis g. Perpotongan garis tegak lurus dari titik P dengan dengan garis g yaitu titik P' ,

disebut proyeksi titik P pada garis g.

P = titik yang diproyeksikan (proyektum)

P' = titik hasil proyeksi

PP' = garis yang memproyeksikan

g = garis yang menerima proyeksi (garis

proyeksi) dan PP' g

PROYEKSI TITIK PADA BIDANG

Proyeksi sebuah titik P pada bidang V dapat diperoleh dengan menarik garis tegak lurus dari P ke

bidang V. Perpotongan garis lurus dari P dengan bidang V, yaitu titik P' disebut sebagai proyeksi titik P

pada bidang V.

P = titik yang diproyeksikan (proyektum)

P' = titik hasil proyeksi

PP' = garis yang memproyeksikan (proyektor)

V = bidang yang menerima proyeksi (bidang

proyeksikan) dan PP' V)

PROYEKSI GARIS PADA BIDANG

Proyeksi sebuah garis g pada bidang V dapat diperoleh dengan membuat proyeksi titik-titik yang

terletak pada garis g ke bidang V. Selanjutnya titik-titik proyeksi ini kita hubungkan, maka diperoleh

proyeksi dari garis g, yaitu g'

Garis g = garis yang diproyeksikan

(proyektum)

Bidang v = bidang yang menerima

proyeksi (bidang proyeksi)

AA', BB', CC' = garis yang memproyeksikan

(proyektor)

Garis g' = proyeksi garis g pada bidang V

Bidang yang dibentuk oleh garis-garis proyektor yaitu

bidang a disebut bidang proyektor.

GARIS TEGAK LURUS PADA SEBUAH BIDANG

• Sebuah garis tegak lurus bidang, jika garis tersebut tegak lurus dua

garis yang berpotongan pada bidang tersebut.

• Garis g tegak lurus bidang V, berarti garis g tegak lurus pada setiap

garis yang terletak pada bidang V.

FAKTA - FAKTA

1. Jika garis a tegak lurus pada garis g dan h yang berpotongan maka garis a tegak lurus pada

bidang yang melalui kedua garis g dan h itu.

2. Jika dari sebuah titik P yang terletak pada garis g dibuat garis-garis k, l, m,...... yang masingmasing

tegak lurus pada garis g maka garis k, l, m,.... terletak pada sebuah bidang datar yang

tegak lurus pada garis g.

3. Jika salah satu dari dua garis (g atau h) yang sejajar, berdiri tegak lurus pada bidang a, maka

garis yang lain (g tau h) akan tegak lurus pada bidang a

4. Jika garis g dan h masing-masing tegak lurus pada bidang a, maka garis g dan h itu adalah

sejajar.

5. Melalui sebuah titik P yang terletak pada garis g hanya dapat dibuat sebuah bidang a yang tegak

lurus pada garis g.

6. Melalui sebuah titik P diluar garis g, hanya dapat dibuat sebuah bidang a yang tegak lurus pada

garis g.

7. Melalui sebuah titik P pada sebuah bidang a, hanya dapat ditarik sebuah garis g yang tegak lurus

pada bidang a

Garis Terletak Pada Bidang

Garis dengan bidang mempunyai dua titik persekutuan

Garis menembus bidang

Garis dengan bidang mempunyai satu titik persekutuan

Garis sejajar bidang

Garis dan bidang tidak mempunyai titik persekutuan

Jarak

Titik ke Garis

Panjang garis tegak lurus dari titik ke garis tersebut

Titik ke Bidang

Panjang garis tegak lurus dari titik ke bidang tersebut

Sudut

Antara Dua Garis Yang Bersilangan Antara Dua Bidang

Sudut antara garis m dan n yang bersilangan adalah

sudut yang dibentuk antara garis m' dan n' yang

ditarik melalui sebuah titik p di dalam ruang, searah

dan sejajar dengan m dan n.

Sudut antara dua garis yang terletak pada

masing-masing bidang tersebut. Dimana garisgaris

ini tegak lurus pada garis potong dua

bidang (garis tumpuan) itu; dan berpotongan di

garis potong kedua bidang.

Antara Garis dan Bidang

Sudut antara garis tersebut dengan proyeksinya pada

bidang itu.

Rumus-Rumus Yang Sering Digunakan

Segitiga Siku-Siku Segitiga Sembarang

Dalil Phitagoras

c² = a² + b²

sin a = a/c

cos a = b/c

tg a = a/b

luas = 1/2 ab

Dalil Cos

c² = a² + b² - 2ab cos

luas = 1/2 a.b sin

rumus perbandingan perbandingan luas

BC : DE = AB : AD = AC : AE

(AB)(CE) = (BC)(AD)

Luas Bidang Dihitung Dari Diagonalnya

Layang-Layang :

Dua Segitiga Sama Kami, Alasnya

Berimpit

Luas = (d1 . d2) / 2

Persegi

(Bujur Sangkar)

Luas = d2/2

Belah Ketupat :

Dua Segitiga Sama Kaki Yang

Sama, Alasnya Berimpit

Luas = (d1 . d2) / 2